Funkcja produkcji CES (ang. Constant elasticity of substitution) – funkcja produkcji o stałej elastyczności substytucji, którą pierwotnie zaproponował Robert Solow, a spopularyzował m.in. Kenneth Arrow jako uogólnienie właściwości funkcji produkcji Cobba-Douglasa.
Dla dwóch czynników – pracy i kapitału – funkcja przyjmuje postać:
gdzie: są większe od 0, – kapitał, – praca, – elastyczność substytucji,
co jest równoznaczne z zapisem:
gdzie: – stopień jednorodności, zazwyczaj przyjmuje się
Właściwości funkcji Funkcja CES jest homogeniczna stopnia Dla jest quasi-wypukła, dla quasi-wklęsła. Dla i jest ściśle wklęsła.
Elastyczność funkcji CES Cechuje ją stały wzdłuż izokwanty stosunek procentowej zmiany proporcji czynników produkcji do procentowej zmiany krańcowej stopy technicznej substytucji (MRTS).
po przekształceniu:
Po zlogarytmowaniu obu stron:
Stąd elastyczność substytucji:
Minimalizacja kosztów Problem minimalizacji kosztów dla funkcji produkcji CES w postaci można przedstawić jako:
przy warunku:
Wykorzystując metodę mnożników Lagrange’a, uzyskujemy warunki pierwszego rzędu:
Wyznaczamy (1)
i podstawiamy do funkcji produkcji, co daje
Wyznaczamy i podstawiamy do równań z (1):
Powstałe w ten sposób funkcje podstawiamy do funkcji kosztów i otrzymujemy