Najpierw w atelier spółki architektów Lossow und Kühne w Dreźnie, później na przełomie lat 1906–1907 zatrudniony był w urzędzie rejencji w Koblencji, a stamtąd przeniósł się do Kolonii, gdzie pracował w urzędzie dyrekcji kolei. W latach 1908–1909 praktykował w firmie architektonicznej Pfleghard und Haefeli w Zurychu.
W roku 1909 podjął pracę projektanta w biurze Deputacji Budowlanej Miasta Wrocławia kierowanej przez miejskiego radcę budowlanego Maksa Berga. Z Wrocławiem Konwiarz związany był od tej pory do końca II wojny światowej. W roku 1912 Konwiarz objął stanowisko kierownika urzędu projektów we wrocławskim magistracie, które piastował do roku 1925. Pierwsze lata jego działalności we Wrocławiu to oprócz pracy u boku miejskiego radcy budowlanego także okres, w którym tworzył projekty na zlecenie płynące z innych miast. Już w roku 1911 nieodpłatnie wykonał projekt wieży Bismarcka w swoim rodzinnym Kępnie. W roku 1915 z kolei opracował plan budowy osiedla dla pracowników fabryki C.W. Reger Söhne w Starołęce (wówczas Luisenhain) pod PoznaniemW niektórych źródłach nazwa Luisenhain jest błędnie identyfikowana z osadą Soboniów należącą do wsi Koszyn koło Kłodzka, por. Jerzy Ilkosz, Beate Störtkuhl (red.): Wieżowce Wrocławia 1919–1932. Wrocław: Archiwum Budowlane Miasta Wrocławia, 1997, s. 206..