Napęd BMP-1 stanowi 6-cylindrowy, czterosuwowy, wysokoprężny, o pojemności 15 800 cm³, zbudowany w układzie V, niedoładowany, chłodzony cieczą silnik UTD-20. Moc przy 2600 obr./min wynosi 300 KM. Moc z silnika na koła napędowe jest przenoszona przy pomocy sterowanego mechanicznie i hydraulicznie mechanicznego układu przeniesienia mocy. Mechanizm przenoszenia mocy umożliwia ruch wozu do przodu, do tyłu, hamowanie oraz skręcanie. Skrzynia biegów pięciobiegowa (pięć biegów do przodu + bieg wsteczny). Łączny zapas paliwa wynosi 462 dm³, 350 dm³ w zbiorniku głównym oraz 50 dm³ w lewym włazie desantu i 60 dm³ w prawym, pozostałe 2 dm³ mieszczą pompy paliwa oraz przewody zasilające silnik w paliwo.
BMP-1 ma zawieszenie niezależne na wałkach skrętnych. Każde z 12 kół jezdnych jest połączone za pomocą wahacza wleczonego z wałkiem skrętnym. Wahacze pierwszej i ostatniej pary kół nośnych są dodatkowo zamocowane do teleskopowych amortyzatorów hydraulicznych dwustronnego działania oraz posiadają sprężynowy ogranicznik skoku. Koła 2 i 5 pary posiadają odbojnik gumowy. Napęd z silnika jest przekazywany na znajdujące się w przedniej części pojazdu koła napędowe. Z tyłu pojazdu znajdują się koła napinające.