Dowieść można, że każdy wielomian dodatniego stopnia należący do pierścienia wielomianów danego ciała nierozkładalny w tym ciele można jednak rozłożyć na iloczyn wielomianów liniowych (a więc postaci ) w innym ciele będącym rozszerzeniem ciała wyjściowego By tego dowieźć, dowodzi się wpierw lematu stanowiącego, że dla każdego wielomianu dodatniego stopnia istnieje rozszerzenie ciała takie, że wielomian ma w tym ciele pierwiastek. A więc .
Wielomian może być rozkładalny bądź nierozkładalny w ciele Jeśli jest rozkładalny, to da się rozłożyć na wielomiany nierozkładalne. Każdy pierwiastek dowolnego z tych wielomianów nierozkładalnych stanowi już pierwiastek wielomianu Tak więc w obu przypadkach dalsze rozumowanie sprowadza się do rozpatrzenia przypadku wielomianu nierozkładalnego. W pierścieniu wielomianów wielomian tworzy ideał który można oznaczyć także W przypadku wielomianu nierozkładalnego ideał ten będzie maksymalny (oznacza to, że ideał nie jest równy samemu pierścieniowi, do którego należy, w tym wypadku , ale nie zawiera się w żadnym innym ideale niż sobie samym i samym pierścieniu). Dowodzi się, że pierścień ilorazowy utworzony przez podzielenie dowolnego wyjściowego pierścienia przez dowolny jego ideał maksymalny jest ciałem.