Liczb Carmichaela mniejszych niż milion jest jedynie 43, a mniejszych niż bilion (1012) – jedynie 8238. Jednak wiele pytań dotyczących liczb Carmichaela pozostaje otwartych. Nie wiadomo na przykład do dziś (pierwsza połowa roku 2007): Czy dla każdego istnieje nieskończenie wiele liczb Carmichaela, które są iloczynem dokładnie czynników pierwszych? Czy istnieją liczby Carmichaela o dowolnie dużej liczbie czynników pierwszych?
Jak można je otrzymywać? Oto algorytm podany przez J.ChernickaJ. Chernick: On Fermat’s simple theorem, „Bulletin of the American Mathematical Society” 45, 1939, s. 269–274. dla liczb Carmichaela o trzech czynnikach pierwszych:
podstawiając kolejne liczby naturalne za wyznacza się Jeżeli dla pewnego wszystkie czynniki w nawiasach są liczbami pierwszymi, to jest liczbą Carmichaela. Istnieją uogólnienia tego algorytmu na większą liczbę czynników pierwszych.
Algorytm znajdowania bardzo dużych liczb Carmichaela o wielkiej liczbie czynników pierwszych opisali G. Löh i W. Niebuhr.