mały|Czworokąt wpisany w okrąg. Wzór Brahmagupty – wzór pozwalający obliczyć pole czworokąta wpisanego w okrąg (czworokąta cyklicznego), korzystając wyłącznie z długości jego boków:
,
gdzie:
– pole powierzchni czworokąta, – długości boków, – połowa obwodu czworokąta, tzw. półobwód:.
Wzór ten jest uogólnieniem wzoru Herona na przypadek czworokąta wpisanego w okrąg. Został podany przez indyjskiego matematyka Brahmaguptę w VII wieku.
Dowód mały|Rysunek do dowodu wzoru Brahmagupty. Dowód wzoru Brahmagupty można przeprowadzić, korzystając z uogólnienia wzoru Herona oraz własności czworokąta wpisanego w okrąg.
Rozważmy czworokąt wpisany w okrąg o bokach . Podzielmy go przekątną na dwa trójkąty o wspólnej przekątnej . Oznaczmy kąty między bokami oraz odpowiednio przez i . Ponieważ czworokąt jest wpisany w okrąg, zachodzi:
.
Pole czworokąta jest sumą pól dwóch trójkątów:
.
Korzystając ze wzoru na pole trójkąta przez dwa boki i kąt między nimi, mamy:
, .
Zatem:
.
Ponieważ , mamy , więc:
.
Aby wyeliminować , zastosujemy twierdzenie cosinusów w obu trójkątach:
, .
Ponieważ , otrzymujemy:
.
Porównując oba wyrażenia na , dostajemy:
.
Stąd:
.
Korzystając z tożsamości , wyznaczamy:
.
Podstawiając to do wzoru na pole:
,
otrzymujemy:
.