Przestrzenią styczną do -wymiarowej rozmaitości różniczkowej w w punkcie nazywa się obraz przez pochodną parametryzacji gdzie Ponieważ pochodna ma rząd to przestrzeń styczna jest -wymiarową podprzestrzenią liniową
Baza naturalna dla mapy Mapa w otoczeniu punktu na -wymiarowej rozmaitości różniczkowej indukuje bazę przestrzeni stycznej daną wzorami
gdzie a oznacza bazę standardową Nazywa się ją bazą naturalną dla mapy Wektory tej bazy oznacza się także lub podobnie.
Odwzorowanie styczne
Przestrzeń styczna do rozmaitości pozwala uogólnić pojęcie pochodnej funkcji na przypadek funkcji pomiędzy rozmaitościami. Niech będą rozmaitościami różniczkowymi. Rozpatrzmy funkcję Gdyby były zwykłymi, dowolnymi zbiorami, to niemożliwe byłoby różniczkowanie nawet pomimo że to podzbiory ponieważ pochodna jest zawsze zdefiniowana dla funkcji zdefiniowanej na zbiorze otwartym. Jednakże, ponieważ są rozmaitościami różniczkowymi i mają dodatkową strukturę, to można uogólnić pojęcie pochodnej funkcji na przypadek funkcji pomiędzy i
Definicja Niech będą i -wymiarowymi rozmaitościami różniczkowymi, a – mapami na nich.