Wówczas, jeśli nie jest ujemną liczbą rzeczywistą, to wtedy i tylko wtedy, gdy

Przypadek stałego charakteru to klasyczna hipoteza Riemanna.

Liczby pierwsze w ciągach arytmetycznych Znaczenie uogólnionej hipotezy Riemanna ujawnia się przy próbach dowodzenia jak najdokładniejszych szacowań na liczbę liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych. Oznaczmy przez liczbę liczb pierwszych Zakładając prawdziwość GRH, można wykazać, że

gdzie oznacza logarytm całkowy, to tocjent Eulera, a w tym wypadku oznacza logarytm naturalny. Powyższa zależność wynika z postaci drugiej funkcji Czebyszewa,

gdzie to funkcja von Mangoldta. Dla i funkcję tę można wyrazić jako

gdzie oznacza sumę po zerach funkcji na

Dokładność szacowania Błąd występujący w przypadku GRH jest o wiele mniejszy niż inne znane wyniki, takie jak twierdzenie Dirichleta czy twierdzenie Siegela-Walfisza. Ze względu na tę dokładność GRH wykorzystuje się często przy warunkowych dowodach innych twierdzeń. Czasami jednak okazuje się, że ten wynik można zastąpić wynikiem „uśrednionym”, tj.