Skorzystamy z postaci silni jako sumy częściowej logarytmów naturalnych,
Ze wzoru sumacyjnego Eulera zachodzi
Pierwsza całka wynosi
W przypadku drugiej całki zdefiniujemy funkcję pomocniczą
Widzimy, że
W przypadku skorzystamy z całkowania przez części.
gdzie:
oraz
Ponieważ funkcja jest okresowa, z okresem 1, i to Dlatego
Dodatkowo, wynika stąd, że całka jest ograniczona z góry,
Powyższe nierówności są prawdziwe, ponieważ całka po jest zbieżna.
Łącząc uzyskane zależności, otrzymamy
Biorąc obu stron, uzyskamy wzór.
Funkcja zeta Riemanna
Udowodnimy, że funkcja zeta zdefiniowana za pomocą szeregu
dla wszystkich liczb zespolonych o części rzeczywistej spełnia zależność
Biorąc otrzymamy
Aby z lewej strony równania otrzymać funkcję Riemanna, chcemy aby Widzimy, że
Stąd
dla
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Analityczna teoria liczb