Wypożyczenie do Leicester City 26 sierpnia 2023 Akgün udał się na wypożyczenie do wówczas drugoligowego angielskiego klubu Leicester City na długość trwania sezonu 2023/24. Pierwszy mecz dla Lisów zagrał 29 sierpnia 2023 roku w ramach drugiej rundy Pucharu Ligi Angielskiej przeciwko Tranmere Rovers. Yunus wszedł na boisko po przerwie za Marca Albrightona, a ten mecz zakończył się wynikiem 2:0 dla Leicester City. Z kolei pierwszy mecz ligowy zagrał 2 września 2023 roku. Było to spotkanie w ramach 5. kolejki drugiej ligi angielskiej przeciwko Hull City. Akgün rozpoczął mecz w podstawowym składzie, ale został zmieniony w 53. minucie na Abdula Fatawu. Mecz ten zakończył się wynikiem 0:1 dla Hull.
Pierwszą bramkę dla Lisów strzelił 27 stycznia 2024 roku w wygranym 3:0 spotkaniu z Birmingham City w ramach 4. rundy Pucharu Anglii. Dokonał tego w 72. minucie spotkania. Yunus zagrał w tym meczu od pierwszej minuty jednak w 81. minucie ówczesny trener Leicester City - Enzo Maresca postanowił zmienić Akgüna. W jego miejsce pojawił się na boisku Arjan Raikhy. Na swoje pierwsze ligowe trafienie Yunus nie musiał długo czekać. 30 stycznia 2024 w meczu 29. kolejki EFL Championship z Swansea City Akgün wszedł na boisko w 54. minucie za Dennisa Praeta, a w 72. minucie strzelił swoją drugą i ostatnią bramkę dla Lisów.