Definicja Rodzinę ograniczonych operatorów liniowych na przestrzeni Banacha spełniającą uogólnione równanie funkcyjne Cauchy'ego nazywamy jednoparametrową półgrupą. Jeśli równanie jest spełnione dla wszystkich , to nazywamy jednoparametrową grupą.
Przykłady
Przestrzenie skończenie wymiarowe Jeśli jest skończenie wymiarową przestrzenią Banacha oraz , to jako jednoparametrową półgrupę możemy zadać , gdzie
.
Powyższy szereg eksponenty macierzy jest zbieżny, ponieważ
w normie operatorowej, a podany po prawej szereg jest ciągiem Cauchy'ego, więc cały szereg również jest ciągiem Cauchy'ego, dlatego musi być zbieżny w przestrzeni Banacha.
spełnia równanie funkcyjne, ponieważ szereg, jakim jest zadany jest zbieżny bezwzględnie (w normie operatorowej) i można udowodnić, że jest iloczynem Cauchy'ego i . Ponadto jest ciągły, ponieważ
,
więc wystarczy żeby , a to prawda, ponieważ
.
W powyższym przypadku mówimy, że operator generuje jednoparametrową półgrupę .
Rodzaje półgrup
C0-półgrupa Jednoparametrową półgrupę nazwiemy C0-półgrupą lub silnie ciągłą