Rezultat ten został rok później uogólniony przez Nicole Arthaud na przypadek kiedy jest dowolnym rozszerzeniem abelowym .
W 1986 Gross i Zagier pokazali, że jeżeli jest krzywą modularną, a ma zero krotności 1 w , to na krzywej istnieje punkt rzędu nieskończonego, więc ma rangę ona co najmniej 1.
W 1989 Koływagin udowodnił, że jeżeli krzywa jest modularna, to lub zero krotności 1 w implikuje, że krzywa ma rangę przewidzianą przez hipotezę BSD. Ponieważ dowolna krzywa z mnożeniem zespolonym jest modulana, to wynik ten znacząco uogólnia rezultat Arthaud.
W 2001 Breuil, Diamond i Conrad udowodnili, że wszystkie krzywe eliptyczne o współczynnikach wymiernych są modularne, więc wynik Koływagina jest prawdziwy dla wszystkich krzywych nad . Twierdzenie o modularności gwarantuje też istnienie przedłużenia analitycznego L-funkcji dla tych krzywych.
Aktualny status Hipoteza została udowodniona jedynie dla bardzo szczególnych przypadków krzywych eliptycznych. Z wyników przedstawionych w sekcji Historia wynika, że jeżeli jest krzywą modularną, to zero krotności 0 lub 1 w oznacza właściwą rangę krzywej . W szczególności wszystkie krzywe o współczynnikach nad oraz krzywe z mnożeniem zespolonym są krzywymi modularnymi.