Wtedy:
Przyjęte warunki regularności pozwalają na zamianę pochodnej i całki (patrz twierdzenie Leibniza (o różniczkowaniu pod znakiem całki), stąd powyższe jest równe:
Oczekiwana wartość wyniku przy prawdziwej wartości parametru wynosi zero, co oznacza, że gdyby ktoś wielokrotnie pobierał próbki z pewnego rozkładu i wielokrotnie obliczał wartość funkcji wynikowej, średnia wartość wyników będzie zbliżać się do zera.
Wariancja Wariancja funkcji wynikowej, , można być wyprowadzona z powyższego wyrażenia dla wartości oczekiwanej.
Stąd wariancja wyniku jest równa ujemnej wartości oczekiwanej macierzy Hessego logarytmu funkcji wiarygodności.
Ten ostatni wynik znany jest pod nazwą informacja Fishera, co często oznacza się .
Przykład
Proces Bernoulliego Załóżmy, że w pierwszych n próbach procesu Bernoulliego, w którym prawdopodobieństwo sukcesu wynosiło θ, sukces wystąpił A razy, zaś pozostałe B prób okazało się porażkami,
Funkcja wiarygodności to:
więc funkcja wynikowa ma postać:
Teraz możemy sprawdzić, czy oczekiwany wynik wynosi zero. Zauważmy, że wartość oczekiwana A to nθ, a wartość oczekiwana B wynosi n (1 − θ ), stąd wartość oczekiwana s wynosi
Możemy również sprawdzić wariancję . Wiemy, że B = n − A, zaś wariancja A wynosi nθ (1 − θ ), stąd wariancja s wynosi
Przypisy
Kategoria:Teoria estymacji