Podczas wojny Dokszycer był muzykiem w orkiestrze sztabu Moskiewskiego Okręgu Wojskowego. W 1941 roku wziął udział w II Wszechzwiązkowym Konkursie Solistów-Wykonawców Instrumentów Dętych zdobywając III nagrodę (dwie pierwsze nie zostały przyznane). Od 1945 r. kontynuował naukę u Tabakowa w Instytucie Muzyczno-Pedagogicznym im. Gniesinych i w tym samym roku w drodze konkursu dostał się do orkiestry Teatru Bolszoj jako koncertmistrz od 1945. W 1947 r. wziął udział w Międzynarodowym Konkursie „Praskie Jaro” w Pradze zostając laureatem I nagrody. W 1954 roku uzyskał status samodzielnego artysty rozpoczynając pracę pedagoga w Instytucie Gniesinych do 1990 r. W latach 1957–1959 (po ukończeniu studiów w klasie dyrygentury operowej i symfonicznej Konserwatorium Moskiewskiego) dyrygował również orkiestrą w teatrze pomocniczym Teatru Bolszoj. W 1976 roku T. A. Dokszycer otrzymał tytuł Ludowego Artysty RFSRR. W latach 1992–1999 prowadził coroczne kursy mistrzowskie na Międzynarodowych Dniach Trębacza w Bremie, a od 1994 do 1999 roku był pedagogiem w Międzynarodowej Akademii Trębacza w tym mieście.