Grupy homotopii – niezmiennik przestrzeni topologicznych uogólniający pojęcie grupy podstawowej, jedno z podstawowych pojęć topologii algebraicznej. Definicja Niech będzie przestrzenią topologiczną, , a kostką jednostkową, tj. , a jej brzegiem (tj. zbiorem punktów kostki, dla których przynajmniej jedno jest równe 0 lub 1).
Zbiór klas homotopii ciągłych odwzorowań , dla których , oznacza się (przy czym brzeg przechodzi w punkt dla wszystkich odwzorowań i homotopii).
W zbiorze tym można zdefiniować działanie w następujący sposób:
gdzie:
Obrazowo, powstaje w ten sposób, że tniemy kostkę hiperpłaszczyzną na dwie części. Na pierwszej z nich kładziemy odwzorowanie , a na drugiej . Przy czym, trzeba zwiększyć dwukrotnie prędkość z jaką oba odwzorowania przebiegają współrzędną (stąd we wzorze występują oraz ). Odwzorowanie przekształca na nie tylko , lecz również wspólny brzeg dwóch połówek kostki.
Działanie jest poprawnie określone oraz zależy tylko od klasy homotopii i . Zbiór wraz z działaniem spełniają wszystkie aksjomaty grupy, którą nazywamy n-wymiarową grupą homotopii.
W przypadku otrzymujemy złożenie dróg zamkniętych (pętli), zatem jest grupą podstawową. Dla grupy nazywamy wyższymi grupami homotopii.
Relatywne grupy homotopii Oznaczmy