Pierwsze czyste konto w Premier League i jednocześnie pierwsze dla Southampton zachował 19 października 2022 roku, w wygranym 1:0 spotkaniu z Bournemouth.
Przed meczem z Preston North End, zaplanowanym na 16 kwietnia 2024 roku, doznał urazu ścięgna Achillesa podczas rozgrzewki. Trener Russell Martin potwierdził później, że Bazunu będzie pauzował od dziewięciu do dziesięciu miesięcy. 10 stycznia 2025 roku wystąpił w drużynie U-21, która pokonała Fulham 5:0 w Premier League 2.
Standard Liège (wypożyczenie) 3 lutego 2025 roku dołączył na zasadzie wypożyczenia do końca sezonu 2024/25 do belgijskiego Standardu Liège. 24 kwietnia 2025 roku ogłoszono, że jego wypożyczenie zostało skrócone z powodu kontuzji kolana i zawodnik wróci do Southampton.
Stoke City (wypożyczenie) 13 stycznia 2026 roku Bazunu przeniósł się na wypożyczenie do Stoke City do końca sezonu 2025/26.
Bolton 28 sierpnia 2026 roku podpisał trzyletnią umowę z Boltonem.
Kariera reprezentacyjna Bazunu reprezentował Irlandię na poziomach U-17 i U-21. Wystąpił w drużynie U-17 na mistrzostwach Europy U-17 w 2019 roku.
W marcu 2021 roku po raz pierwszy otrzymał powołanie do seniorskiej reprezentacji Irlandii na mecze eliminacji mistrzostw świata 2022.