Działalność naukowa Zainteresowania badawcze Cútha obejmują nieseparowalne przestrzenie Banacha i związki analizy funkcjonalnej z topologią oraz teorią mnogości, a także nieliniową geometrię przestrzeni Banacha, w szczególności przestrzenie Lipschitz-free. W tej ostatniej dziedzinie bada między innymi liniową strukturę przestrzeni Lipschitz-free, ich podprzestrzenie, dopełnialność, własności aproksymacyjne, izometrie oraz związki z geometrią przestrzeni metrycznych.
Do jego znanych prac należy artykuł Lipschitz-Free Spaces Over Ultrametric Spaces, napisany wspólnie z Michalem Douchą, w którym autorzy wykazali, że przestrzeń Lipschitz-free nad separowalną przestrzenią ultrametryczną ma monotoniczną bazę Schaudera i jest izomorficzna z . W pracy On the structure of Lipschitz-free spaces, napisanej z Michalem Douchą i Przemysławem Wojtaszczykiem, badał strukturę przestrzeni Lipschitz-free nad nieskończonymi przestrzeniami metrycznymi.
Cúth zajmował się także ośrodkową redukcją w przestrzeniach Banacha.