W szczególności szereg teleskopowy jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica funkcji w nieskończoności.
Przykłady
Przykład elementarny
Rozważmy sumę
.
Korzystając z rozkładu na ułamki proste,
,
otrzymujemy
.
Po rozwinięciu:
.
Wszystkie wyrazy pośrednie redukują się, więc
.
Szereg harmoniczny drugiego rzędu
Rozważmy szereg
.
Z poprzedniego przykładu wynika, że
.
Przechodząc do granicy przy , otrzymujemy
Przykład logarytmiczny
Niech
.
Wówczas .
Po redukcji pozostaje . Ciąg Fibonacciego Niech oznacza ciąg Fibonacciego. Korzystając z tożsamości ,
można skonstruować liczne szeregi teleskopowe związane z odwrotnościami kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego. Przypisy
Kategoria:Analiza matematyczna Kategoria:Szeregi Kategoria:Matematyka dyskretna