Hipoteza Crouzeixa – nierozwiązana hipoteza z teorii macierzy i analizy funkcjonalnej, dotycząca oszacowań norm funkcji holomorficznych od macierzy przez ich maksimum na zakresie numerycznym macierzy. Została sformułowana przez francuskiego matematyka Michela Crouzeixa w pracy z 2004 roku.
W podstawowej postaci hipoteza głosi, że dla każdej zespolonej macierzy kwadratowej i każdego wielomianu zespolonego zachodzi nierówność
gdzie oznacza normę operatorową, czyli w przypadku macierzy normę spektralną, a jest zakresem numerycznym macierzy zdefiniowanym jako
Hipoteza jest często formułowana równoważnie dla funkcji holomorficznych w otoczeniu zakresu numerycznego. W przypadku skończeniewymiarowym wynika to z faktu, że zakres numeryczny macierzy jest zwartym wypukłym podzbiorem płaszczyzny zespolonej i można stosować aproksymację wielomianową.
Sformułowanie Niech Zakres numeryczny macierzy jest zbiorem
Dla wielomianu oznacza się
Hipoteza Crouzeixa mówi, że
dla wszystkich wszystkich macierzy i wszystkich wielomianów .