Uczył się w szkole w pobliskim Sedberghu, gdzie opanował języki klasyczne wymagane od kandydatów na lekarzy. Latem 1756 roku matematyki uczył go , wiejski chirurg i samouk, który w miesiącach letnich przyjmował studentów z Cambridge. Jedenastu jego uczniów zostało z czasem , czyli najlepszymi absolwentami matematyki swoich roczników. Haygarth utrzymywał z nim kontakt do końca jego życia, a obliczenia przygotowane przez Dawsona weszły potem do jego własnych publikacji.
Do St John’s College w Cambridge został przyjęty 25 czerwca 1759 roku jako stypendysta fundacji Hepplethwaite’a. Po trzech latach przeniósł się do Edynburga, gdzie studiował medycynę w latach 1762–1765 i gdzie duży wpływ wywarł na niego William Cullen, zwłaszcza jego wykłady o gorączkach. Zawarł tam przyjaźnie na całe życie – z , i Wirgińczykiem Arthurem Lee. Z Lee i wpisał się w 1765 roku na uniwersytet w Lejdzie, określając się jako , czyli Anglik z Garsdale;