Napier ogłosił w 1614 roku regułę części kołowych, ujmującą w jednym schemacie wszystkie dziesięć zależności między dowolnymi trzema z pięciu elementów trójkąta prostokątnego sferycznego. Od połowy XIX do połowy XX wieku przeważał pogląd, że reguły te są tylko zręcznym chwytem mnemotechnicznym bez znaczenia matematycznego. Stanowisko przeciwne głosiło, że są to pełnoprawne twierdzenia. Do zwolenników drugiego poglądu należał Augustus De Morgan, który dowodził przy tym, że pierwszeństwo należy się Torporleyowi, który ogłosił swoją wersję dwanaście lat przed Napierem. Napier zilustrował swoje reguły figurą zwaną pentagramma mirificum – łańcuchem pięciu trójkątów prostokątnych domykającym się wokół pięciokąta samobiegunowego o stałej szerokości /2. Jej matematyczny sens wyjaśnił dopiero Johann Heinrich Lambert, podając dowód reguł Napiera w języku cyklicznych przekształceń danego trójkąta.