Własności W pierścieniach przemiennych z jedynką zachodzą następujące twierdzenia: Ideał jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy jest ciałem. Ciało to nazywanym ciałem reszt. Każdy ideał maksymalny jest ideałem pierwszym. Twierdzenie Krulla: każdy ideał właściwy jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym.
Przykłady W pierścieniu ideałami maksymalnymi są zbiory wszystkich liczb podzielnych przez daną liczbę pierwszą (pierścienie ilorazowe są wówczas izomorficzne z ciałami ). W pierścieniu wielomianów ideałami maksymalnymi są na przykład: zbiór wielomianów, dla których suma współczynników jest parzysta, zbiór wielomianów, dla których różnica między sumą współczynników o indeksach parzystych i nieparzystych jest parzysta (w obu przypadkach pierścienie ilorazowe są izomorficzne z ) W pierścieniu wielomianów ideałem maksymalnym jest na przykład zbiór wielomianów podzielnych przez pierścień ilorazowy jest izomorficzny z ciałem liczb zespolonych W pierścieniu funkcji ciągłych z przestrzeni metrycznej zbiór funkcji znikających w danym punkcie (mających miejsce zerowe w ustalonym punkcie) jest ideałem maksymalnym.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-04]. Maximal ideal , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-05].
Kategoria:Podzbiory pierścieni