typowa siła oporu ruchu piłki w powietrzu jest funkcją prędkości i wielkości piłki.
gdzie: – dodatnia stała zależna od wielkości i kształtu ciała, minus oznacza, że siła ma przeciwny zwrot do zwrotu prędkości (jest zawsze siłą hamującą).
Gdy tylko znane są siły działające na punkt materialny w postaci funkcji czasu, położenia i prędkości, możemy podstawić je do II prawa Newtona, otrzymując równanie różniczkowe, które jest nazwane dynamicznym równaniem ruchu
Dla przykładu, załóżmy, że tarcie jest jedyną siłą działającą na punkt materialny. Wtedy równanie ruchu przybiera postać:
Równanie to można scałkować otrzymując
gdzie jest prędkością początkową, czyli prędkością ciała w momencie początkowym Z równania tego wynika, że prędkość tego punktu materialnego zmniejsza się eksponencjalnie do zera w miarę upływu czasu. To wyrażenie może być następnie wycałkowane w celu otrzymania kinematycznego równania ruchu.
Cząstka swobodna Przy braku działania sił zewnętrznych cząstka porusza się swobodnie. Jej ruch opisany jest prostym równaniem różniczkowym
Równanie to jest niezmiennicze przy transformacji układu współrzędnych
Właściwe transformacje Galileusza to:
tworzących grupę Galileusza. Są one symetrią równania Newtona dla cząstki swobodnej.