Operator pędu jest generatorem translacji w przestrzeni dla (algebry Liego) związanej z grupą Galileusza mechaniki nierelatywistycznej.
Historycznie jako pierwszy postać operatora pędu zaproponował Erwin Schrödinger, który jednak wyznaczył jego postać wychodząc od hamiltonianu dla cząstki swobodnej podczas konstruowania swojego słynnego równania Schrödingera.
Mechanika kwantowa relatywistyczna W czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego punkt posiada współrzędne
Z symetrii układu fizycznego względem translacji w czasoprzestrzeni
wynika prawo zachowania czterowektora pędu
Układ posiadający taką symetrię jest niezmienniczy względem translacji przestrzennych, czyli przekształceń postaci
gdzie: – operator translacji o czterowektor
Dla infinitezymalnych translacji równanie powyższe może być rozwinięte w szereg:
lub
gdzie: – operator pędu.
Operator pędu jest generatorem translacji w przestrzeni dla (algebry Liego) związanej z grupą Poincarégo mechaniki nierelatywistycznej. Konsekwencją tej symetrii jest istnienie globalnego niezmiennika Casimira
Wielkość ta jest jednocześnie mierzalna (komutuje) z wszystkimi innymi wielkościami fizycznymi opisującymi cząstkę swobodną.