Dla dowolnej wielkości zachodzi:
zatem:
Zapiszmy:
Wtedy:
Zauważmy że:
Wtedy:
Całkując przez części zauważamy, że pierwszy człon znika i ostatecznie:
Energia wewnętrzna Średnią energię można pomnożyć przez liczbę cząsteczek i otrzymać energię wewnętrzną jednoatomowego gazu doskonałego:
gdzie: – liczba cząsteczek w układzie, – liczba moli cząstek w układzie, – stała gazowa,
lub też ogólnie:
Z zasady wynika, że znając tylko geometrię cząsteczki, można obliczyć energię wewnętrzną gazu doskonałego takich cząstek. Znając ją, można obliczyć różne wielkości termodynamiczne, między innymi ciepło molowe.
Doświadczenie Okazuje się, że tak otrzymane wartości ciepła molowego przemiany izochorycznej osiągane są dopiero w wysokich temperaturach (rzędu tysięcy kelwinów). Np. dla wodoru w niskich temperaturach doświadczalne ciepło molowe wynosi w temperaturze pokojowej osiąga i dopiero dla bardzo wysokich temperatur dąży do teoretycznych (odpowiednio wysokie temperatury nie zostały osiągnięte). Można to wytłumaczyć na gruncie mechaniki kwantowej. Energia może osiągać tylko określone, skwantowane wartości.