Ortogonalizacja Grama-Schmidta – przekształcenie układu liniowo niezależnych wektorów przestrzeni unitarnej w układ wektorów ortogonalnych. Przestrzenie liniowe rozpinane przez układy przed i po ortogonalizacji są tożsame, tak więc proces może służyć do ortogonalizowania bazy.
Opisana w tym artykule metoda nazwana została na cześć Jørgena Grama, matematyka duńskiego oraz Erharda Schmidta, matematyka niemieckiego.
Proces ortogonalizacji frame|right|Dwa pierwsze kroki procesu ortogonalizacji
Operator rzutowania ortogonalnego wektora na wektor definiujemy jako:
Wówczas dla układu k wektorów proces przebiega następująco:
czyli wektor to wektor po odjęciu od niego rzutu wektora na podprzestrzeń rozpiętą przez wektory Otrzymany zbiór jest zbiorem wektorów ortogonalnych.
Aby zbudować w ten sposób zbiór ortonormalny, każdy wektor należy podzielić przez jego normę:
Proces ortogonalizacji pozwala na wskazanie bazy ortogonalnej w dowolnej przestrzeni unitarnej (niekoniecznie skończenie wymiarowej).
Własności numeryczne tego algorytmu nie są zbyt dobre i uzyskane wektory nadal nie są ortogonalne (za sprawą błędów zaokrągleń), toteż w praktyce powtarza się proces dokonując reortogonalizacji.
Dowód ortogonalności otrzymanej bazy Dowód ortogonalności tak otrzymanego układu opiera się na indukcji.