funkcjonał liniowy i ciągły w sensie pewnej szczególnej topologii dany wzorem: .

Delta Diraca jako miara Na gruncie teorii miary deltę Diraca definiuje się jako miarę daną wzorem:

gdzie oznacza σ-ciało zbiorów borelowskich w .

Własności delty Diraca Ponieważ delta Diraca jest miarą, to ma sens całkowanie względem delty Diraca. Całkę funkcji względem miary po zbiorze oznacza się często , dlatego w dalszym ciągu będzie stosowane oznaczenie na całkę funkcji względem delty Diraca po

Delta Diraca ma następujące własności:

Dowód pierwszej własności zostanie przeprowadzony w trzech krokach.

Krok I

Gdy jest funkcją prostą, tzn. to bez straty ogólności możemy założyć, że Wtedy

Krok II

Gdy jest nieujemną funkcją mierzalną, to konstruujemy ciąg aproksymacyjny funkcji prostych Wtedy korzystając z poprzedniego kroku

Krok III

Gdy jest dowolną funkcją mierzalną, to gdzie

oraz

Wówczas, korzystając z poprzedniego kroku

co kończy dowód.

W szczególności kładąc otrzymuje się

Definicję delty Diraca można nieco uogólnić definiując ją jako miarę daną wzorem

Wówczas

Zastosowania W rachunku prawdopodobieństwa delta Diraca jest rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej takiej, że .