Wielomiany Czebyszewa – układ wielomianów ortogonalnych tworzący bazę przestrzeni wielomianów; nazwa pochodzi od nazwiska Pafnutija Czebyszewa.
Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju Definicja rekurencyjna Wielomiany te spełniają zależność:
oraz
Postać jawna Rozwiązaniem powyższej rekurencji jest:
Parzystość wielomianów Czebyszewa Z definicji wynika, że dla k parzystego wielomian Czebyszewa -tego stopnia jest parzysty, dla nieparzystego k – nieparzysty:
Postać trygonometryczna Dla podstawiając za dla
gdzie
Po zastosowaniu wzoru de Moivre’a na k-tą potęgę liczby zespolonej otrzymuje się:
Wracając do zmiennej (*)
Jest to tzw. postać trygonometryczna wielomianu Czebyszewa, gdyż wyraża wielomian Czebyszewa -tego stopnia przez funkcję trygonometryczną i jej odwrotność Korzystając z własności funkcji trygonometrycznych, można wykazać, że (*) jest w zależności od argumentu równe:
Można wykazać, że
ponieważ zachodzi
oraz
zachodzi
a stąd
podstawiają za x, otrzymuje się
Zera wielomianów Czebyszewa
Wielomian Czebyszewa posiada zer rzeczywistych należących do danych wzorem:
Ortogonalność Wielomiany Czebyszewa tworzą układ ortogonalny w przestrzeni z funkcją wagową
Dowód
Zastosujmy podstawienie Mamy wówczas oraz Stosując we wcześniejszym wzorze:
Korzystając ze wzoru trygonometrycznego