Żona i dzieci Józef Kenig ożenił się w 1868 r. w warszawskim kościele św. Antoniego przy ulicy Senatorskiej z Salomeą Palińską, aktorką dramatyczną Warszawskich Teatrów Rządowych. Miał z nią troje dzieci: Józefę Salomeę, Stanisława Jana i Marię Julię.
Syn Stanisław Jan (zm. 1926) był fabrykantem, współwłaścicielem fabryki chemicznej w Strudze, starsza córka Józefa Salomea (córka chrzestna Juliusza Kossaka) była jedną z organizatorek Towarzystwa Śpiewaczego "Lutnia", Maria Julia była początkującą malarką, a jej artystyczny rozwój przerwała tragiczna, przedwczesna śmierć, jeszcze za życia ojca.
Śmierć Józef Kenig zmarł w nocy 13 marca 1900 r. w swoim mieszkaniu przy ulicy Hortensji 7 (ob. Górskiego) w Warszawie. Jego pogrzeb odbył się 15 marca 1900 r. Konduktowi przewodził ks. rektor Zygmunt Chełmicki (późniejszy prałat), przyjaciel zmarłego. Trumnę z dolnego kościoła św. Krzyża przewieziono, przy udziale blisko 2 tys. żałobników, na cmentarz Powązkowski, gdzie znajdował się grób jego żony i córki. Tam też spoczął w kwaterze 3-2-17. Msza pogrzebowa odbyła się w dniu następnym – celebrował ją sufragan warszawski ks. biskup Kazimierz Ruszkiewicz. Do dzisiaj grób J.