Równanie falowe – matematyczne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu opisujące ruch falowy.
Ogólną postacią równania falowego jest:
gdzie oznacza zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych.
W równaniu funkcja jest niewiadomą opisującą wychylenie fali w punkcie w chwili Zadane są początkowe położenie fali oraz początkowy impuls Fizycznie stała oznacza prędkość rozchodzenia się fali w danym ośrodku (np. prędkość fali dźwiękowej to 343 m/s dla powietrza w temp 20 stopni C). Symbol to laplasjan.
Skrótowo można wyrazić równanie falowe używając operatora d’Alemberta:
Rozwiązania równania falowego mają różne postaci i własności w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Najważniejsze równania falowe to przypadki
Równanie falowe jest ważne w mechanice kwantowej, gdyż opisuje falę de Broglie’a:
Równanie falowe można wyprowadzić z równań Maxwella.
Rozwiązania równania falowego Równanie struny i wzór d’Alemberta Jednowymiarowe równanie falowe nazywa się równaniem struny lub równaniem fali płaskiej. Ma ono postać:
Bez uwzględnienia warunków brzegowych rozwiązaniem jest:
gdzie są dowolnie wybrane.
Przy założeniu regularności oraz uwzględnieniu warunku brzegowego rozwiązaniem jest:
Jest to wzór d’Alemberta.