Równanie ruchu tłumionego liniowo oscylatora harmonicznego ma postać:
Równanie to jest zmodyfikowanym równaniem drgań swobodnego oscylatora harmonicznego – dodatkowy człon
reprezentuje współrzędną wektora siły tłumiącej o której zakłada się, że jest przeciwnie skierowana do prędkości drgającego ciała i do niej proporcjonalna; stąd wynika znak w powyższym wzorze; – współczynnik proporcjonalności: im jest większy, tym większe jest tłumienie drgań. Równanie oscylatora przekształca się do postaci
gdzie: – współczynnik tłumienia, – częstość kołowa oscylatora nietłumionego.
Rozwiązanie równania ruchu oscylatora harmonicznego tłumionego liniowo Równanie oscylatora harmonicznego tłumionego liniowo jest równaniem różniczkowym zwyczajnym 2-go rzędu o stałych współczynnikach. Metoda rozwiązania tego typu równań różniczkowych, podana przez Eulera, polega na założeniu rozwiązania w postaci wykładniczej, zależnej od dwóch niewiadomych:
gdzie – nieznana amplituda drgań, – nieznana liczba zespolona. Podstawiając to rozwiązanie do równania oscylatora otrzymuje się tzw. równanie charakterystyczne równania różniczkowego:
Równanie to ma dwa pierwiastki i (por.