Definiuje się je w następujący sposób:
przy czym:
Współczynnik dwumienny określa współczynniki wyrażenia: podczas gdy współczynniki wielomianowe określają współczynniki wielomianu:
w następujący sposób:
gdzie sumujemy po wszystkich naturalnych spełniających podane wcześniej reguły.
Dla uzyskujemy współczynniki dwumianowe:
Interpretacja kombinatoryczna współczynników wielomianowych to liczba sposobów rozmieszczenia rozróżnialnych elementów w rozróżnialnych pudełkach, z których każde mieści dokładnie elementów, gdzie jest indeksem pudełka.
Współczynniki wielomianowe mają wiele własności podobnych do własności współczynników dwumianowych, takich jak rekurencja:
i symetria:
gdzie jest permutacją
Argumenty rzeczywiste i zespolone Symbol Newtona uogólnia się na liczby rzeczywiste i zespolone, korzystając z funkcji specjalnej gamma. Uogólnienie to opiera się na tożsamości:
spełnionej dla naturalnych wartości
Możemy także przyjąć następującą (nierównoważną) definicję: Niech będzie dowolną liczbą rzeczywistą lub zespoloną.