Fakt ten jest konsekwencją wzoru na całkowanie przez podstawienie. Ogólnie, na dowolnej grupie Liego wymiaru n lewostronnie niezmiennicza miara Haara może być stowarzyszona z pewną niezerową n-formą ω jako miarą Lebesgue’a |ω|. Podobny związek zachodzi dla dowolnej prawostronnie niezmienniczej miary Haara. Wynika stąd, że funkcję modularną można obliczać jako wartość bezwzględną wyznacznika dołączonej reprezentacji tej grupy.

Funkcja modularna Przesunięcie prawostronnie niezmienniczej miary Haara w „lewo” znów jest miarą Haara. Dokładniej, jeżeli μ jest prawostronnie niezmienniczą miarą Haara, wówczas funkcja:

jest również prawostronnie niezmiennicza. Wynika stąd, że istnieje jednoznacznie określona funkcja Δ zwana funkcją modularną o tej własności, że dla dowolnego zbioru borelowskiego A

Grupę G nazywamy unimodularną wtedy i tylko wtedy, gdy jej funkcja modularna jest tożsamościowo równa 1. Przykładami są tu ważne dla zastosowań grupy zwarte i abelowe, natomiast przykładem grupy, która nie jest unimodularna jest grupa wszystkich przekształceń prostej liczbowej, które mają postać:

Linki zewnętrzne Haar measure , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-06].

Kategoria:Analiza harmoniczna Haara Kategoria:Topologia algebraiczna Kategoria:Grupy topologiczne