Niech za przykład posłuży
Mając funkcję daną wzorem
wystarczy zauważyć, iż zgodnie z powyższymi uwagami prawdziwy jest wzór
Podstawiając oraz uzyskuje się oraz
Co ostatecznie daje
Związek z pochodną Gâteaux
Jeśli jest różniczkowalna w sensie Frécheta w punkcie to jest ona w nim również różniczkowalna w sensie Gâteaux, a jest po prostu operatorem liniowym Nie każda funkcja różniczkowalna w sensie Gâteaux jest różniczkowalna w sensie Frécheta. Przykładowo funkcja o wartościach rzeczywistych określona wzorem
jest ciągła i różniczkowalna w sensie Gâteaux w punkcie przy czym jej pochodną jest
Funkcja nie jest operatorem liniowym, zatem funkcja nie jest różniczkowalna w sensie Frécheta.
Innym przykładem może być funkcja dana wzorem
która jest różniczkowalna w sensie Gâteaux w punkcie a jej pochodna dla wszystkich jest operatorem liniowym. Mimo to nie jest ciągła w co można zaobserwować, zbiegając do początku układu wzdłuż krzywej i dlatego nie może być tam różniczkowalna w sensie Frécheta.
Subtelniejszym przykładem jest
która jest funkcją ciągłą, różniczkowalną w przy czym jej pochodną jest co raz jeszcze oznacza, że jest liniowa. Jednakże nie jest różniczkowalna w sensie Frécheta, ponieważ granica
nie istnieje.