gdzie są pochodnymi względem parametru liczonymi w punkcie
Przez punkty prowadzi się dwie normalne o równaniach
Rozwiązaniem tych równań są współrzędne punktu w którym przecinają się proste normalne
gdzie:
Licznik i mianownik ułamka dzieli się przez i po przejściu do granicy otrzymane zostaną współrzędne środka krzywizny krzywej w jej punkcie
Promień krzywizny równy jest odległości punktów i
Krzywa jako funkcja uwikłana Dana jest krzywa o równaniu gdzie jest funkcją ciągłą wraz z pochodnymi cząstkowymi dwu pierwszych rzędów w otoczeniu punktu
Jeżeli to w otoczeniu punktu można funkcji nadać postać gdzie i
Równanie stycznej do krzywej przybiera teraz postać
a równania normalnych w punktach
Po wprowadzeniu oznaczeń
rozwiązanie tych równań ma postać
Po przejściu do granicy otrzymane zostaną:
gdzie:
Promień krzywizny wyraża się wzorem
Przykłady Obliczanie krzywizny krzywej Lissajous opisanej równaniami:
Wartości poszczególnych pochodnych:
Krzywizna jako funkcja parametru
W szczególności dla okręgu krzywizna nie zależy od parametru