Zbiór Bernsteina – podzbiór przestrzeni polskiej, który jest w pewnym sensie bardzo nieregularny. Zbiór Bernsteina, jako podzbiór zbioru liczb rzeczywistych jest przykładem zbioru niemierzalnego (w sensie Lebesgue’a). Nazwa pojęcia została wprowadzona dla uhonorowania niemieckiego matematyka Felixa Bernsteina, który pierwszy rozważał zbiory tego typu w 1908Felix Bernstein, Zur Theorie der trigonometrischen Reihen, Sitzungsber. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-Natur. Kl. 60 (1908), s. 325–338..
Definicja formalna Niech będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską. Podzbiór jest zbiorem Bernsteina w , jeśli dla każdego nieprzeliczalnego zbioru borelowskiego spełnione są warunki
Własności Niech będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską oraz niech Wówczas następujące warunki są równoważne: jest zbiorem Bernsteina, ani ani nie zawiera nieprzeliczalnego domkniętego podzbioru zarówno jak i ma niepusty przekrój z każdym nieprzeliczalnym domkniętym podzbiorem
Jeśli jest zbiorem Bernsteina, to: jest zbiorem Bernsteina, nie ma własności Baire’a, jest niemierzalny względem dowolnej niezerowej miary Radona na jest pełnej miary zewnętrznej Lebesgue’a, a wewnętrzną miarę Lebesgue’a ma zerową.
Istnieją takie dwie podgrupy grupy dla których
i które są zbiorami Bernsteina.