Nie miało to jednak wpływu na waleczność, którą wykazywał przy rzeczywiście ważnych punktach. Typowym meczem dla gry Falkenburga był finał Wimbledonu w 1948. Amerykanin zmierzył się w nim z Johnem Bromwichem i jeden z setów oddał do zera. Kiedy jednak przegrywał 3:5 w decydującej partii, nie zrezygnował z walki, obronił trzy meczbole i doprowadził pojedynek do zwycięskiego dla siebie końca. Był to jego największy singlowy sukces w karierze.
Bromwich zrewanżował się Falkenburgowi w ćwierćfinale rok później, również w pięciu setach (3:6, 9:11, 6:0, 6:0, 6:4). Falkenburg wygrał Wimbledon w deblu w 1947 w parze z Jackiem Kramerem, a w 1944 triumfował w grze podwójnej na mistrzostwach USA, partnerując Donowi McNeillowi. W wieku 18 lat był jednym z młodszych triumfatorów debla w tej imprezie. W grze pojedynczej na mistrzostwach USA musiał się zadowolić półfinałem w 1946 i ćwierćfinałem w 1947 (w obu turniejach przegrywał z Kramerem) oraz ćwierćfinałem w 1948. W 1943 po raz pierwszy znalazł się w najlepszej dziesiątce rankingu amerykańskiego. Najwyżej w tej klasyfikacji był w 1948 (na 5. miejscu), w tymże roku znalazł się także na 7. miejscu nieoficjalnego rankingu światowego pisma „Daily Telegraph”.