Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym: Każde ciągłe odwzorowanie sympleksu w siebie ma punkt stały.
Przez sympleks rozumie się tu sympleks domknięty, dowolnego, nieujemnego wymiaru (a więc niepusty).
n-wymiarowy sympleks standardowy zdefiniowany jest jako najmniejszy zbiór wypukły w zawierający punktów leżących na dodatnich półosiach współrzędnych, w odległości 1 od początku układu współrzędnych (inaczej: otoczkę wypukłą punktów o współrzędnej 1 ze wszystkich osi). Inne sympleksy są obrazami standardowych przy odwzorowaniach afinicznych. Zresztą twierdzenie zachodzi dla każdej z przestrzeni topologicznych, homeomorficznej z jednym z sympleksów standardowych, np. dla kuli Takie przestrzenie nazywamy sympleksami topologicznymi.
Twierdzenie Brouwera pochodzi z 1910 roku i pojawiło się jako wynik rozważań Brouwera o piątym problemie Hilberta. Na początku sformułował je on tylko dla przestrzeni ale szybko rozszerzył również w wyższe wymiary.