gdy istnieje taki skalar że zachodzi lub
Przykłady Dla pewnych przestrzeni liniowych i określonych w nich iloczynach skalarnych otrzymuje się użyteczne postaci tej nierówności: w przestrzeni euklidesowej z euklidesowym iloczynem skalarnym otrzymuje się nierówność
co można zapisać zwięźlej w postaci
w przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku z iloczynem skalarnym danym wzorem dostaje się
dla funkcji z przestrzeni L2(X) całkowalnych z kwadratem iloczyn należy do przestrzeni L1(X) funkcji całkowalnych z modułem oraz
Nierówność Schwarza dla ustalonego iloczynu skalarnego z L² jest równoważna nierówności Höldera dla Nierówność dla można dowodzić indukcyjnie bądź z tożsamości Lagrange’a.
Dowód Nierówność jest spełniona dla zatem można przyjąć, że Dla dowolnej liczby zespolonej jest
Wybierając
otrzymuje się nierówność
która zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy
co z uwagi na równość
jest tożsame
Zobacz też nierówność Höldera nierówność trójkąta przestrzeń Hilberta
Uwagi
Przypisy
Linki zewnętrzne
Piotr Stachura, Nierówność Cauchy'ego-Schwarza, kanał Khan Academy na YouTube, 15 listopada 2018 [dostęp 2024-06-22]. [dostęp 2022-06-20]. [dostęp 2022-06-20].
C Kategoria:Twierdzenia – przestrzenie Hilberta Kategoria:Twierdzenia o szeregach