Kuratowski, C.: Sur une généralisation du problème de la mesure. „Fundamenta Mathematicae” 14 (1929), s. 127–131.. W 1930 Stanisław UlamUlam, S.: Zur Maßtheorie in der allgemeinen Mengenlehre. „Fundamenta Mathematicae” 16 (1930), s. 140–150. wykazał, że każda rzeczywiście mierzalna liczba kardynalna jest (słabo) nieosiągalna. W tym samym artykule Ulam rozważał miary o wartościach w wprowadzając tak pojęcie liczby mierzalnej.
Definicje Niech będzie liczbą kardynalną. -addytywna miara na to taka funkcja
że (a) ale dla każdego oraz (b) jeśli jest rodziną parami rozłącznych podzbiorów oraz < to jest skończonym podzbiorem Filtr podzbiorów zbioru jest (i) -zupełny jeśli przekrój mniej niż zbiorów z należy do (ii) filtrem głównym jeśli dla pewnego zbioru
Nieprzeliczalna liczba kardynalna jest liczbą rzeczywiście mierzalną jeśli istnieje -addytywna miara na Nieprzeliczalna liczba kardynalna jest liczbą mierzalną jeśli istnieje -addytywna miara na o wartościach w {0,1}. Jeśli
jest -addytywną miarą na to
jest -zupełnym niegłównym ultrafiltrem na Każdy taki ultrafiltr wyznacza też odpowiednią miarę.