Liczby pierwsze są badane od antyku, a w XXI wieku te badania dalej trwają. Jednym z powodów są zastosowania tych liczb – między innymi do szyfrowania, czyli w kryptografii. Korzystają z nich niektóre znane algorytmy jak RSA. Rozwój tych algorytmów zapewnia ewolucję projektów wyszukiwania ogromnych liczb pierwszych, takich jak GIMPS.
Podstawowe własności mały|Euklides z Aleksandrii (IV–III w. p.n.e.) – badał między innymi liczby pierwsze
Najmniejszy różny od jedynki dzielnik naturalny, dla każdej liczby naturalnej, większej od jedności; jest liczbą pierwszą. Euklides z Aleksandrii pokazał, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele: Dowód Euklidesa. Niech będzie skończonym zbiorem liczb pierwszych. Niech będzie iloczynem wszystkich liczb występujących w (gdy jest puste, to ). Jedynym wspólnym dzielnikiem liczb oraz jest 1. Zatem żadna liczba pierwsza, występująca w nie jest dzielnikiem liczby Ale Więc ma dzielnik który jest liczbą pierwszą. Liczba pierwsza nie należy do (bo jest dzielnikiem liczby ). Każda liczba naturalna większa od 1 daje się jednoznacznie zapisać w postaci iloczynu skończonego niemalejącego ciągu pewnych liczb pierwszych (to jest tak zwane twierdzenie o jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze).