na czynniki pierwsze Niech oznacza wykładnik, z którym liczba pierwsza występuje w rozkładzie liczby naturalnej (waluacja p-adyczna). Wtedy: (wzór Legendre’a),
gdzie jest jedyną liczbą całkowitą, spełniającą nierówność
dla dowolnego rzeczywistego Liczbę nazywamy częścią całkowitą liczby rzeczywistej Powyższa suma jest skończona, gdyż tylko skończona liczba jej składników jest różna od 0 – mianowicie pierwsze wyrazów.
Literatura: na przykładLew G. Sznirelman, Liczby pierwsze, PWN, Warszawa 1954. – rozdział 7.0William J. LeVeque © 1977, Fundamentals of Number Theory, Dover Publications 1996, .; – rozdział 6.3, Twierdzenie 6.9.
Rozkład środkowego współczynnika dwumianowego Zbadajmy gdy liczba pierwsza należy do przedziału Ogólnie:
Ponieważ
dla dowolnej liczby rzeczywistej to ze wzoru na z poprzedniego fragmentu, wynika, że
Równość pozwala powyższą nierówność wyrazić równoważnie jako
czyli:
Twierdzenie. Jeżeli to
Prawdziwe jest także twierdzenie:
Twierdzenie. Jeżeli jest liczbą naturalną, oraz – liczbą pierwszą z przedziału to nie jest dzielnikiem współczynnika