Zbieżność punktowa – własność ciągu funkcyjnego zapewniająca zbieżność ciągu wartości tych funkcji dla każdego argumentu.
Definicja Niech oraz będą przestrzeniami metrycznymi, zaś dla Wówczas ciąg funkcji jest zbieżny punktowo do funkcji jeżeli dla każdego istnieje granica Mówi się wtedy, że jest granicą punktową ciągu
Formalnie warunek ten można zapisać wzorem
Przykłady thumb|300px|Granica punktowa funkcji ciągłych nie musi być ciągła: ciągłe funkcje (zaznaczone na zielono) są zbieżne punktowo do funkcji nieciągłej (zaznaczonej na czerwono). Każdy ciąg stały jest zbieżny punktowo (do swojego stałego wyrazu). Granica punktowa ciągu funkcji ciągłych nie musi być funkcją ciągłą. Na przykład niech dane będą funkcje dane wzorem dla oraz Ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji opisanej wzorem
Granica punktowa ciągu funkcji, które nie są ciągłe w żadnym punkcie może być ciągła, np. niech dana będzie funkcja Dirichleta oraz funkcje dla Wówczas ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji stałej Niech będzie funkcją różniczkowalną, a będzie jej pochodną.