Podobnym twierdzeniem jest twierdzenie Tonellego, które dają tę samą tezę przy założeniu, że funkcje są nieujemne (nie potrzeba sprawdzać całkowalności). W praktyce twierdzenie Tonellego jest często używane do sprawdzania założeń twierdzenia Fubiniego.
Przykłady
Zastosowanie do obliczenia całki Gaussa Jednym z najpopularniejszych przykładów zastosowania twierdzenia Fubiniego jest dowód, że
Dla dodatniej liczby rzeczywistej a połóżmy
Gdyby było wiadomo, że całka
jest bezwzględnie zbieżna, to jej wartość byłaby równa granicy
tj. całce
Jest tak istotnie, zważywszy na oszacowanie
Podnosząc do kwadratu otrzymujemy
Z twierdzenia Fubiniego wynika zatem, że powyższa całka równa jest całce
tj. całce, której obszarem całkowania jest kwadrat o wierzchołkach {(–a, a), (a, a), (a, –a), (–a, –a)}.
Z nieujemności funkcji potęgowej wynika, że całka z funkcji po dowolnym kole zawartym w kwadracie nie przekracza całki z tej funkcji po rzeczonym kwadracie.