Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym mówi, że każde ciągłe przekształcenie niepustego, wypukłego i zwartego podzbioru przestrzeni Banacha w siebie ma punkt stały.
Innymi słowy: każdy niepusty, wypukły i zwarty podzbiór przestrzeni Banacha ma (topologiczną) własność punktu stałego.
Twierdzenie zostało udowodnione w 1930 roku przez polskiego matematyka Juliusza Schaudera.
Dowód twierdzenia Załóżmy, że jest niepustym, wypukłym i zwartym podzbiorem przestrzeni Banacha i przekształcenie jest ciągłe. Ponieważ zbiór jest zwarty, to dla każdego istnieje skończona -sieć: Dla każdego zdefiniujmy funkcję
i zauważmy, że jest ona ciągła. Przyjmijmy, że gdzie oznacza otoczkę afiniczną zbioru i zdefiniujmy funkcję wzorem
Jest to funkcja ciągła, a zatem również funkcja określona wzorem jest ciągła. Zbiór jest wypukły i zwarty oraz jest zawarty w podprzestrzeni o skończonym wymiarze, więc korzystając z odpowiedniej wersji twierdzenia Brouwera o punkcie stałym stwierdzamy, że istnieje taki punkt że Ponieważ
to
gdyż dla każdego mamy
Zatem Ze zwartości zbioru wynika, że granica jest elementem zbioru a z ciągłości funkcji – to, że jest ona punktem stałym funkcji
Uogólnienia Prawdziwe są również następujące ogólniejsze twierdzenia, również nazywane twierdzeniami Schaudera: