W geometrii hiperbolicznej każdy odcinek ma dokładnie jedną symetralną. Rzecz komplikuje się, gdy rozpatrzyć symetralne boków trójkąta. Mogą zajść trzy przypadki: Symetralne trzech boków przecinają się w jednym punkcie. Wierzchołki trójkąta wyznaczają dokładnie jeden okrąg opisany. Symetralne są elementami pęku prostych równoległych – zbiegają się we wspólnym punkcie w „nieskończoności”. Wierzchołki trójkąta nie wyznaczają okręgu opisanego, ale horycykl. Symetralne są rozbieżne – mają wspólną prostopadłą. Wierzchołki trójkąta wyznaczają ekwidystantę.
Jak widać, są tutaj trójkąty nie wyznaczające żadnego okręgu opisanego.
W geometrii eliptycznej jest jeszcze inaczej. Ponieważ każdy odcinek (rozumiany jako para różnych punktów) ma dwie symetralne (wzajemnie prostopadłe), więc na każdym trójkącie (rozumianym jako trójka niewspółliniowych punktów) można opisać cztery różne okręgi.
Podsumowując, geometria euklidesowa (paraboliczna) wyróżnia się tym, że na każdym trójkącie można opisać tylko jeden okrąg. W niektórych ujęciach aksjomatyki powyższe własność jest równoważna aksjomatowi Euklidesa.
Przypisy
Linki zewnętrzne [dostęp 2024-10-05]. [dostęp 2024-10-05].
Kategoria:Geometria euklidesowa Kategoria:Geometria hiperboliczna Kategoria:Geometria analityczna