Aksjomaty Zbiór liczb rzeczywistych można zdefiniować aksjomatycznie, jako ciało uporządkowane spełniające aksjomat ciągłości. Jest to struktura algebraiczna spełniającą następujące aksjomaty: jest ciałem, jest porządkiem liniowym spełniającym dodatkowo warunki:
. spełniony jest aksjomat ciągłości: każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór ma kres górny.
Aksjomatyka nie gwarantuje istnienia obiektu spełniającego te aksjomaty, przeprowadza się konstrukcje liczb rzeczywistych biorące za punkt wyjścia liczby wymierne.
Konstrukcje Istnieje kilka klasycznych sposobów konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych – za pomocą: odpowiednich zbiorów liczb wymiernych – przekrojów Dedekinda; ciągów Cauchy’ego liczb wymiernych; nieskończonych ciągów liczb całkowitych. Pierwszym wyrazem jest w nich dowolna liczba całkowita, a wszystkie następne są liczbami naturalnymi ze zbioru {0,1,...,9}.