Domknięcie przechodnie relacji dwuargumentowej na zbiorze jest to najmniejsza (w sensie inkluzji) relacja przechodnia na zbiorze która zawiera
Dla każdej relacji istnieje jej domknięcie przechodnie. Dla dowodu wystarczy zauważyć, że iloczyn dowolnej rodziny relacji przechodnich jest relacją przechodnią. Ponadto dla każdej relacji na zbiorze istnieje co najmniej jedna relacja przechodnia ją zawierająca – mianowicie Wobec tego domknięcie przechodnie relacji można określić jako iloczyn wszystkich relacji przechodnich na ją zawierających.
Alternatywna definicja Można też zdefiniować domknięcie przechodnie inaczej. Mianowicie, dla dowolnych elementów zachodzi:
to znaczy elementy są w relacji będącej domknięciem przechodnim o ile istnieje taki skończony ciąg elementów zbioru że jest w relacji z pierwszym elementem tego ciągu, pierwszy element ciągu jest w relacji z drugim, drugi z trzecim itd., zaś ostatni element ciągu jest w relacji z
Formalnie, wykorzystując działanie składania relacji, można również napisać:
Stąd bierze się alternatywne oznaczenie relacji mianowicie J.M. Howie, An Introduction to Semigroup Theory, Academic Press, 1976, s. 19..