Ten trójkąt nazywa się trójkątem biegunowym trójkąta ABC.
Relacja ta jest wzajemna: jeśli A′B′C′ jest trójkątem biegunowym trójkąta ABC, to ABC jest trójkątem biegunowym trójkąta A′B′C′. Boki i kąty trójkąta biegunowego są dopełnieniami do 180° odpowiednio kątów i boków trójkąta wyjściowego. Dzięki temu z każdego wzoru trygonometrii sferycznej otrzymuje się drugi, zamieniając boki na dopełnienia kątów i odwrotnie.
Najstarszy znany opis tej konstrukcji pochodzi z listu, w którym (przełom X i XI wieku) prostował tablice astronomiczne . Autor listu posłużył się nią, by wykazać, że kąty trójkąta sferycznego wyznaczają jego boki. W Europie autorstwo pomysłu przypisywano aż do końca XIX wieku François Viète’owi, niekiedy też Snelliusowi. To, że figurę znali matematycy arabscy, zauważono dopiero pod koniec XIX wieku. Figurę tę wykorzystali też Euler i Lagrange: obaj zauważyli, że jeden wzór trygonometrii sferycznej przechodzi w drugi po zastąpieniu boków dopełnieniami kątów i odwrotnie, i dopiero z tej obserwacji wyprowadzili istnienie trójkąta o bokach i kątach dopełniających. Lagrange nazwał go trójkątem dopełniającym.
Trygonometria sferyczna