Z drugiej strony twierdzenie, że dowolny filtr zawiera się w pewnym ultrafiltrze nie pociąga AC. Istotnie, łatwo zauważyć, że jest to równoważne twierdzeniu o ideale pierwszym (BPIT), znanym punktem pośrednim między aksjomatami teorii mnogości Zermela-Fraenkla (ZF) i teorii ZF powiększonej o aksjomat wyboru (ZFC). Początkowo może się zdawać, że drugi dowód twierdzenia Tichonowa nie korzysta się z niczego więcej niż BPIT, co przeczy powyższemu. Jednakże przestrzenie, w których każdy filtr zbieżny ma jednoznacznie wyznaczoną granicę to dokładnie przestrzenie Hausdorffa. W ogólności należy dla każdego elementu zbioru indeksującego wybrać element z niepustego zbioru granic rzutowanej bazy ultrafiltra, a to oczywiście stanowi użycie AC. Pokazuje to także, że zwartość iloczynu zwartych przestrzeni Hausdorffa może być wykazana za pomocą BPIT, a w rzeczywistości prawdziwe jest stwierdzenie odwrotne. Badaniem siły twierdzenia Tichonowa dla różnych ograniczonych klas przestrzeni zajmuje się topologia teoriomnogościowa.